# 计算机图形学

> 掌握计算机图形学的基本概念，理解光栅图形生成基本算法。理解三个常用直线生成算法，理解和掌握多边形的扫描转换、区域填充算法。掌握曲线的概念，曲线曲面的表示。掌握 Bezier 曲线、B 样条曲线、非均匀有理 B 样条曲线的定义和性质、算法。理解颜色的基本概念、三色学说、CIE 色度图、掌握常用的颜色模型，掌握光照相关知识，掌握几种基础光照模型，理解光线跟踪算法。熟悉 OpenGL 程序结构、基本几何元素、坐标变换和光照处理。

## 图形学概论

### 图像 vs 图形

| 图像            | 图形             |
| ------------- | -------------- |
| 简单，相机，真实的     | 复杂，由算法生成，是合成的  |
| 表示：用像素阵列表示    | 表示：几何属性 + 物理属性 |
| 像素有颜色值 (或灰度值) | 需要人来设计和构造      |

### 生成的图形

| 线框图   | 真实感图形 | 非真实感图形   |
| ----- | ----- | -------- |
| 用线条表示 | 侧重真实感 | 侧重艺术、风格化 |

### 帧缓存

作用：存储将要显示的图形信息和保存中间数据。

包括：颜色缓存和深度缓存等。

显存与 GPU 的关系，就像内存和 CPU 的关系一样。

### 图形学之父

I.E. Sutherland

## 二维集合变换

### 概念

坐标系不动，把一个图形通过平移、旋转、缩放、对称、错切变换变成新的图形。

1. 对简单图形作变换和组合，可以构成复杂图形，是造型的方法之一。
2. 三维变换的基础。

### 基本变换

#### 平移变换

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/65896f7c4d64e.png)

性质：只改变位置，不改变形状和大小。

#### 旋转变换

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589711ddb7ae.png)

性质：不改变大小、距离和角度，会改变朝向

#### 缩放变换

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658983ce0cc11.png)

当 Sx == Sy 时为均匀缩放，反之为非均匀缩放。

性质：

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658983e5d51b5.png)

#### 对称变换

关于 x 轴，y 轴，原点的对称变换是特殊的缩放变换。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658983f9b3b20.png)

#### 逆变换

正变换：从 P(x,y) 变到 P’(x’ ,y’)

逆变换：从 P’(x’ ,y’) 变回 P(x,y)

#### 复合变换

* 复合平移
* 复合旋转
* 先平移，再旋转，再缩放
* 先旋转，再平移，再缩放
* ...

性质：复合变换不满足可交换性

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589841611356.png)

### 关于参考点旋转

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589841eebbe2.png)

相对某个参考点 (xr,yr) 的旋转变换：

(1) 作平移

(2) 作相对原点的旋转

(3) 作反平移

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658984272c36f.png)

### 矩阵乘向量

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589843273e98.png)

### 齐次坐标

把 n 维空间的点表示成 n + 1 维空间的点，称前者为普通坐标，后者为齐次坐标。

#### 齐次坐标不唯一

(1,3,0) 的齐次坐标是 (2,6,0,2)、(1.5,4.5,0,1.5) —— 不唯一。

#### 普通坐标与齐次坐标的关系

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589843fd0a88.png)

#### 规范化齐次坐标

h=1 时的齐次坐标成为规范化齐次坐标。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658984523180b.png)

#### 矩阵乘向量

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589845876d54.png)

## 三维图形变换

坐标系不动，点动。

特点：

1. 比 2D 增加了 z 坐标
2. 比 2D 更复杂、更真实

三维几何变换性质：

* 平移——改变位置
* 旋转——改变方向
* 缩放——改变大小和形状
* 对称
* 错切

### 平移变换

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/65898632cded3.png)

只改变位置，不改变大小和形状。

### 旋转变换

#### 绕三个坐标轴的旋转

绕 z 轴旋转：约定人眼在 z 轴正方向，看向原点，逆时针为正方向

#### 绕三个坐标轴正方向旋转

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589876f90114.png)

#### 绕任意轴的旋转

eg.

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/658987e3adf0c.png)

### 投影变换

数学上：从 n 维空间到 k(\<n) 维空间的变换。 CG：从 3D 空间到 2D 平面的变换。

物体在 3D 空间，屏幕在 2D 平面，必须作投影变换。投影变换是 3D 图形学的核心。

#### 基本概念

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/25/6589897576820.png)

投影中心：相当于人眼或相机，也称视点或观察点 投影线：相当于光线 投影面：相当于成像平面，位于 COP 和物体之间 投影线与投影面相交，在投影面上的像就是物体的投影。

#### 光学成像 vs 虚拟成像

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a700da264a.png)

#### 透视投影 vs 平行投影

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a72005a81d.png)

透视投影：COP 到投影面的距离有限 平行投影：COP 到投影面的距离无限

平行投影是透视投影的极限

#### 平行投影

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a72c460024.png)

类比太阳光

**三视图**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a7301aa792.png)

性质：保持距离和角度不变，适用于建筑和施工图纸。

**三视图的变换公式**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a73ea168e0.png)

**正轴测投影**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a73a401bdc.png)

**缺点**

物体投影的大小与物体离投影面的距离无关，与人的视觉不符。

#### 透视投影

符合人的视觉特点，远小近大，更真实

性质：平行于投影面的平行线投影后仍然平行。不平行于投影面的平行线投影后汇聚于一点。

**透视投影变换公式**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a747725a40.png)

### 坐标系

#### 建模坐标系

1. 三维坐标系，坐标在 R 上取值
2. 目的：用来定义单个物体，比如球体，长方体，圆柱体。。。
3. 每个物体都可以有自己的建模坐标系。MC 是局部坐标系，如果物体改变，MC 也随之改变。

#### 世界坐标系

1. 三维坐标系，坐标在 R 上取值
2. 目的：定义所有对象，包括物体，观察者的位置和视线、投影平面等。
3. 是全局坐标系，其它坐标系都参照 WC 来定义。

#### 观察坐标系

1. 目的：从观察者的角度描述 WC 中的所有物体。
2. 类比照相：选择拍摄的位置和方向。
3. 对同一场景，在不同视点处的观察结果不同。

#### 投影面坐标系

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658a77594ad9b.png)

#### 设备坐标系

1. 设备自带的坐标系。设备不同，设备坐标系也不同。
2. 二维坐标系，取离散值，比如 1024 \* 768，1920 \* 1080。

#### 规范化设备坐标系

1. 二维坐标系，在 0≤X≤1，0≤Y≤1 取连续值。
2. 目的：为了解决应用程序的可移植性的问题，使图形处理独立于具体的输出设备。
3. 虚拟的设备坐标系。

## 多边形的扫描转换

把顶点表示转换为点阵表示

本质：给定多边形的顶点序列，确定哪些像素在多边形内部。

### 多边形的表示

| 顶点表示                        | 点阵表示                           |
| --------------------------- | ------------------------------ |
| 用顶点序列表示。                    | 用多边形内部的像素表示。                   |
| 优点：几何意义明显，直观，存储空间少，便于作几何变换。 | 优点：适用于面着色。                     |
| 缺点：不能直接进行面着色。               | 缺点：失去顶点、边界等几何信息，存储空间多，不便作几何变换。 |

### 点的包含性检验

#### 转角法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aa39e06eb7.png)

缺点：逐点判别，计算夹角的大小和方向

#### 射线法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aa3c6296e4.png)

看奇偶：如果交点个数是偶数（包括 0），则点在外面；否则在里面。

缺点：逐点判别，需要判断一条射线和所有边是否有交点

### 扫描线填充算法

1．求所有顶点的 MIN 和 MAX——确定多边形覆盖的扫描线条数 2．从 MIN 到 MAX，每次用一条扫描线进行填充

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aa4f008225.png)

1. 求交：依次计算该扫描线与各边的交点；
2. 排序：把所有交点按 x 值递增排序 (比如冒泡)；
3. 配对：第 1 与第 2，第 3 与第 4，每对交点确定一个小区间；
4. 填色：把小区间内的像素赋予颜色。

#### 如何避免不必要的求交

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aa5e7b3f1c.png)

#### 增量法求交点坐标

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aa94a4f868.png)

#### 扫描线的连贯性

如果没有新边加入，排序不变，无须调整

如果有新边 (第一次与扫描线相交的边) 加入，可用插入排序

#### 交点为顶点的配对

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ab8c02ba49.png)

顶点分三种：极小点，极大点，其它点。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ab8e10f08e.png)

#### 避免填充扩大化

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ab97a9b19b.png)

### 活性边表

活性边：对一条扫描线，和扫描线有交点的边。 活性边表：对一条扫描线，把所有活性边按 x 坐标递增的顺序构成一个链表。 链表结点 = data 域 + 指针域。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658abc63a2901.png)

### 新边表

对每条扫描线建立表，用来存放与该扫描线第一次相交的边 (新边) 结点结构和活性边表相同。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658abdc210d68.png)

### 区域填充

区域：连通的像素集合。

#### 区域表示

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658abf134a80f.png)

#### 区域分类

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658abf2cb930c.png)

### 字符

包括字母、数字、汉字等。是特殊的图形，用于图形的注释说明等。

#### 字符编码

美国：

* 信息交换用标准代码集 (American Standard Code for Information Interchange)
* 127 个字符，8 位编码

中国：

* 汉字编码的国家标准字符集：GB 2312－80。
* 区位码：对 6763 个常用汉字，符号等编码，94 个区，94 个位，

用 94 \* 94 矩阵表示。

#### 字符表示

**点阵型**

每个字符用一个点阵表示，1 表示笔画经过，0 表示不经过

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658abff293697.png)

缺点：

1. 字符有多种属性——数据量很大
2. 作变换 (比如旋转) 困难（需要操作每个像素）

压缩技术：

黑白段压缩、部件压缩、轮廓字形压缩

轮廓字形：

用直线、2/3 次 Bezier 曲线描述轮廓线，轮廓线构成区域的边界。用填充算法生成字符的点阵。优点：压缩比大，能保证字符质量。

**矢量型**

不记录点阵，而是记录字符的笔画。

把字符表示成点的序列，相邻两点构成一个矢量，字符的形状由矢量序列表示。

优点：存储空间小，变换方便，只需对端点坐标作变换

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac0fd0610c.png)

## 基本图形生成算法

### 什么是生成

CG 是研究如何用计算机表示、生成、处理和显示图形的学科。

扫描转换：把图形数据转换成像素。

本质：给定图形，在屏幕上确定最佳逼近图形的像素。

### 直线的表示方法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac1c3aa6ca.png)

### 点和直线的位置关系

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac220ec0b8.png)

#### 判别式 & 判别规则

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac23988959.png)

### 直线的扫描转换

数学：直线是理想 (绝对直) 的，由无数个点构成，没有宽度。

计算机：有限个点，有宽度

本质：用有限的像素逼近理想直线

#### 直接计算法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac2781786e.png)

#### DDA 算法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac33dbdf59.png)

优点：增量算法

缺点：k、y 是 float，需要作浮点乘法，对 y 作舍入，不利于硬件实现

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac73ee9b2e.png)

#### 中点画线法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac88570194.png)

**判别式与判别规则**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac8ac833fd.png)

**判别式改进 —— 用增量法计算 d**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac99356f19.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac9ab517e7.png)

**判别式改进 —— 用 2d**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ac9d5ec8a6.png)

## 裁剪

裁剪：给定窗口，消除窗口以外的部分。

为什么要作裁剪：场景太大，需要显示的只是整个场景的一部分。

流程：先裁剪，再光栅化，避免无用的计算。

### 裁剪分类

1. 裁剪窗口的维数

* 2D、3D

2. 裁剪窗口的形状

* 规则 (矩形、圆)
* 不规则 (多边形、多面体)

3. 裁剪对象

* 点、线、多边形、字符

### 点裁剪

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658accc01c742.png)

### 线裁剪

#### Cohen-Sutherland 算法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ace4ab037f.png)

!\[\[Pasted image 20231226210109.png]]

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658acea19d910.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658aceb9c8f6e.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658acfff8db4e.png)

优点

* 解决前两种很高效，避免了不必要的求交
* 适合大窗口和小窗口

缺点

* 求交涉及浮点运算
* 最坏的情况需要作四次裁剪

## 反走样

用离散量 (像素) 表示连续量 (图形) 引起的失真。

走样是数字化的必然产物。减少或消除走样称为反走样。

### 常见的走样

* 锯齿形或阶梯形
* 小物体、细节在被放大、丢弃、失真
* 小物体在动画中时隐时现，产生跳跃或闪烁

### 反走样技术

* 硬件：提高分辨率

增加分辨率，减轻锯齿效应，原来不能显示的细节可以显示。

4 倍帧缓存容量和 2 倍扫描时间——成本太高

* 算法

利用亮度过渡淡化锯齿效应。

### 区域采样

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ad1dd693d8.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ad1f2c0193.png)

## 消隐

消除不可见的点线面，称作消隐。

在 3D 中，人从某视点观察，不可能看到一个物体的全部表面，只能看到部分的点线面。若观察多个物体，物体之间还存在彼此遮挡。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ad2773e5c6.png)

### 消隐分类

1. 按消隐对象

* 线消隐：针对线框图，消除边
* 面消隐：针对表面图，消除面

2. 按算法所在空间分类 (Southerland)

* 物体空间 (object space)
* 图像空间 (image space)
* 二者结合

### 影响因素

几乎所有算法都会涉及远近排序

物体离视点越远，越可能被遮挡 物体离视点越近，越可能被看见——近的遮挡远的

连贯性 a. 扫描线的连贯性 b. 物体的连贯性

### 物体空间方法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/26/658ad4c8d8e6d.png)

```c
for (每个物体)
{
把它与其它物体比较，确定可见的部分；
用适当的颜色绘制可见部分；
}
```

### 图像空间方法

1. 在 2D 空间 (屏幕坐标系) 进行
2. 处理对象：投影后的像素
3. 复杂度：n 个对象，m 个像素，需做 m \* n 次求交。

```c
for(屏幕上的每个像素)
{
比较深度，确定哪个多边形在该像素可见（离视点最近）；
绘制该像素；
}
```

相结合：先在物体空间删掉一些不可见的面，再在图像空间生成消隐图。

### 面消隐

#### 画家算法

与油画家作画类似，由远及近，远景覆盖背景。

1. 把物体按远近（或深度）排序。
2. 按由远到近的顺序依次绘制各个面（后者覆盖前者）。

#### Z-buffer 算法（深度缓存算法）

图像空间方法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bc66735500.png)

**算法步骤**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bc6b5ebd20.png)

**z 值计算**

增量算法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bc71b70eea.png)

**优缺点**

优点

* 思想简单
* 物体不用排序
* z 值可用增量法求出

缺点

* 占用空间大，需要两个缓存。
* 本质上是逐点，没有充分利用连贯性。

#### 区间扫描线算法

利用扫描线的连贯性，以区间为单位确定可见区域。

对每条扫描线，计算它和所有多边形投影的交点，按交点排序，形成若干小区间。

**算法步骤**

1. 没有多边形覆盖 ——用背景色显示 。
2. 只有一个多边形覆盖——用该多边形的颜色显示 。
3. 两个或以上覆盖——比较深度，用可见多边形的颜色显示 。

**算法特点**

1. 一次可以确定一个区间
2. 不需要 z 缓存

#### Wornack（区域细分）算法

**特点**

* 图像空间方法
* 思想：分而治之
* 区域连贯性 (对比扫描线连贯性)

如果一点可见，则周围的点也可见。 如果一点不可见，则周围的点也不可见。

**多边形和窗口的关系**

* 不相交 —— 分离
* 内含
* 包围
* 相交

定义简单窗口：

1. 所有多边形都和窗口分离——窗口为背景色
2. 窗口中只包含一个多边形
3. 只有一个多边形包围窗口
4. 只有一个多边形和窗口相交
5. 有多个和窗口相交，但是，有一个包围窗口，而且离视点最近

**算法步骤**

1. 把所有多边形投影到窗口。
2. 检查窗口是否简单。如果简单，结束。
3. 否则，把窗口一分为四，检查窗口是否简单。
4. 终止条件：所有窗口简单，或者窗口只含一个像素。

#### 光线投射算法

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd0c4766e1.png)

a. 视点和像素形成射线。 b. 射线与所有物体表面求交。 c. 取离视点最近的交点。

**算法过程**

```c
for (屏幕上的每一像素(u,v) {
	形成通过该像素(u,v)的射线；
	for (每个多边形) {
		射线与该物体表面求交；
		if 存在交点
			以最近交点的颜色显示像素(u,v)
		else
			以背景色显示像素(u,v)
	}
}
```

**光线投射法 vs Z-buffer 算法**

1. 内外循环顺序相反，所以算法复杂度类似。

Z-buffer：每次取一个多边形，作投影，对投影点计算深度值，将其与已有的深度值作比较，取最近的那个。

光线投射法：每次取一个像素，沿光线路径计算所有面的深度，取最近的那个。

2. 光线投射法不需要 Z 缓存。

## 曲线与曲面

### 曲线/曲面的分类

1. 规则

• 可用初等解析函数表示 • 直线，圆弧，椭圆，平面，球面，椭球面

2. 自由

• 无法用初等解析函数表示 • 汽车外形，飞机外形

3. 随机

• 处处连续，处处不可导 • 地图边界，海岸线，水波，超声

### 曲线和曲面的表示

#### 平面曲线的表示

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd2de765f3.png)

点动成线：曲线可看成动点运动的轨迹，t 表示时间，角度等。直线 \[0, 1] 弯曲的结果。

#### 规范化参数区间 \[0, 1]

若 t 的区间是 \[a, b]，转换为 \[0, 1]

t’ = (t - a) / (b - a)

则 t’ => \[0,1]。

#### 第一象限内的单位圆弧

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd3c75840c.png)

#### 直线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd3d7017f1.png)

#### 三类表示优缺点

* 显式表示

缺点：

1. 不能表示竖线
2. 不能表示多值或封闭曲线（如整圆）

* 隐式表示

优点：

1. 能表示任意直线、整圆
2. 将某点坐标代入隐式，可判断该点在曲线的哪一侧

缺点：

1. 由 x 难计算对应的 y

* 参数表示

优点： ![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd46358e53.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd47bba8ee.png)

### 空间曲线的表示

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd4920b73d.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd4a00c222.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd4b123361.png)

### 参数曲面

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be1bf49912.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be19387539.png)

#### 上半单位球面

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be1e9e5c2d.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be20c9f22b.png)

### 平面法向量

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be23ce219d.png)

## 插值与拟合

### 插值

给定 n+1 个有序的点 Pk，k=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过它们，称为对这组数据点进行插值，曲线称为插值曲线。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd61b7082e.png)

#### 线性插值

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd660e044f.png)

#### 抛物线插值

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd6772013a.png)

n+1 个点，n 次插值

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd696ca54e.png)

### 拟合

给定一组数据点，构造一条曲线，使它在某种意义下最接近这些数据点 (未必通过)，该曲线称为拟合曲线。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd6b84f0eb.png)

#### 3 次参数曲线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd74e1eb9a.png)

为什么选 3 次

* 次数太低，不灵活。
* 次数太高，计算量大，光滑性变差。
* 可以通过若干条 3 次曲线拼接得到复杂曲线。

### 连续性

复杂曲线通常由若干曲线段拼接而成，要保证曲线段之间光滑过渡的问题。

#### 参数连续性

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bd80d91def.png)

例子

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bdfde3fbd3.png)

#### 几何连续性

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be012d6108.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be0282e878.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be032ccdcf.png)

## Bezier 曲线和曲面

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be3176e294.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be425648d2.png)

### Bezier 曲线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be45516902.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be48491a03.png)

#### 一次 Bezier 曲线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be4a1e882f.png)

#### 二次 Bezier 曲线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be8fc91db1.png)

#### 三次 Bezier 曲线

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be914711cd.png)

### Bernstein 基函数的性质

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be94df3253.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be9583cbb2.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be9633e046.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be96e552ce.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be97882d5a.png)

#### 端点性质

曲线经过第一个和最后一个控制点（利用基函数的端点性质）

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658be9dd80b71.png)

#### 导数性质

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bea05db391.png)

#### 二阶导性质

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bea1a7b03c.png)

#### 凸包性

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bea379e6cf.png)

#### 变差缩小性

任意直线与曲线的交点个数小于等于该直线与多边形交点的个数。

Bezier 曲线比控制多边形波动更小。

#### 对称性

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bea91aaa96.png)

### Bezier 曲线的递推

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bebbe40971.png)

### Bezier 曲线的拼接

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bebf01ea3c.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bed9185356.png)

### Bezier 曲线的性质

没有局部可控性：如果改变某一个控制点的位置，整条曲线都会变化。

在 (0,1) 上，每个基函数均>0。

### Bezier 曲面

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bec3ba5da7.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bec45337de.png)

## 真实感图形学

### 颜色

颜色是视觉系统对可见光的感知结果。

### 光

光是一种电磁波。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf17777fd7.png)

大多数彩色光不是单一波长的，而是由许多不同波长的光组合成的。

缺点：

1. 用光谱能量分布定义颜色非常复杂，难以理解。
2. 因为异谱同色，所以对人没有必要。
3. 计算机难以处理。

光谱和颜色是多对一的，不同分布的光产生的颜色感觉是一样的，两种光的分布不同但是颜色相同的现象称为异谱同色。

## 颜色模型

表示颜色的一种数学方法。颜色模型不是唯一的。

* 存储（R,G,B 值）
* 减少数据量（压缩）
* 满足显示系统的要求
* 满足印刷或打印的要求
* 方便用户理解和选择颜色

没有任何一个颜色模型能解释有关颜色的所有现象。只能近似地解释。

### 有源物体

能发出光波的物体称为有源物体，其颜色由它发出的光波决定。

### 无源物体

不发出光波的物体称为无源物体。其颜色由它吸收其它颜色的光后反射的光波决定。

定义物体的颜色：白光照射在它上面时显示的颜色。

### RGB 模型

常见的各种颜色光，都可以由红 (R)、绿 (G)、蓝 (B) 三种颜色光按不同比例混合而成。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf298cc6d2.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf2b6691f4.png)

#### 补色

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf2c965580.png)

#### 数字图像表示

**黑白图像**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf30cedd77.png)

**8-bit 灰度图像**

只有明暗不同，没有色彩。8bit 灰度图。 共 256 种亮度

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf3343873b.png)

**彩色图像**

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf34530012.png)

**24-bit 彩色图像**

通常用 8bit 表示每个颜色分量。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf3682a667.png)

#### 优缺点

优点：

1. RGB 可以生成很多的颜色
2. 适合硬件（图像生成）（e.g., 显示器、相机、扫描仪）

缺点：

1. 不直观（用户描述颜色不方便）
2. 很难编辑（视觉对颜色的感知是非线性的）

### CMY（减色）模型

用青 (cyan)、品红 (magenta) 和黄 (yellow) 颜料按一定比例混合得到颜色的方法。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658beee57641e.png)

颜色不是来自光线的叠加，而是光线照射到颜料以后，被颜料吸收一部分后反射剩余的光线，称为 CMY 减色模型 (印刷模型)。

#### CMY 模型的表示

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bef168e87f.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bef354e466.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bef432c148.png)

### CMYK 模型

1. 油墨包含杂质，实际上产生一种深灰色
2. 直接加入黑色更经济

加入一种黑色 (K) ——四色打印

优点

1. CMY 可以生成很多颜色
2. 适用于印刷或打印

缺点

1. 颜色的生成方式不直观
2. 难以编辑（视觉对颜色的感知是非线性的）

### HSV 模型

* 色调 (Hue, H)：即颜色。反映颜色的基本特征。色调是最容易把颜色区分开的属性。由光的主波长决定
* 饱和度 (Saturation)：颜色的纯正 (鲜艳) 程度。单一波长的光是完全饱和的。与掺入的白光有关：掺入白光，色调不变但饱和度降低。
* 亮度 (Value)：主观亮度，人眼感受到的颜色光的强度。某一颜色的光，亮度很弱，趋于黑色；亮度很强，趋于白色。

优点

1. 可以生成很多颜色
2. 符合人的主观感受

缺点

1. 与设备相关

### 总结

1. RGB，显示设备
2. CMY，打印或印刷
3. HSV，人

## 光照模型

根据光学定律，建立数学模型，计算物体表面每个点的颜色 (或亮度)。

### 光源模型要素

1. 光源

* 形状 (点、线、面、体)
* 位置（x,y,z）
* 发光方向（角度）
* 亮度或颜色 (光谱)

2. 物体

* 形状、表面朝向、材质、颜色、透明性

3. 视点

### 点光源

发光体很小或者相距很远，可视为点光源。

### 光强度衰减

设离光源距离为 d。光强度和距离的平方成反比。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf48b757a4.png)

### 局部光照模型 vs 全局光照模型

| 局部光照模型            | 全局光照模型                     |
| ----------------- | -------------------------- |
| 只考虑光源直接照射。        | 不仅考虑光源直接照射，也考虑间接照射。        |
| 目的：模拟连续明暗色调、镜面高光。 | 目的：模拟多个物体之间的反射、透射、物体交相辉映等。 |

### 简单光照模型

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf57f2a56c.png)

### Phong 模型

反射光=环境光的反射光 + 漫反射光 + 镜面反射光

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf5a5a6dd9.png)

* 真实感图形学中第一个有影响的光照模型。
* 生成图像的真实感较好。
* 是一个经验模型。
* 环境光设为常量，没有考虑物体间相互的反射光。
* 物体像塑料，不生动，无质感

### 环境光

#### 概念

* 又称为背景光 (background light)、泛光。
* 光源不能直接照射的地方，依然有一定的亮度。
* 看成光源间接对物体的影响，是光在物体和环境之间多次反射，最终达到平衡后，弥漫在整个空间。

只考虑环境光，物体没有立体感。类比黑夜里看东西，同一物体的不同区域无差异，只有位置、大小、轮廓。

#### 特点

* 来自周围各个方向，均匀地向各个方向反射。
* 强度分布均匀，任何地方都一样，看成常数。
* 和物体的朝向、观察方向无关。
* 比如透过厚厚云层的太阳光，无影灯。

#### 计算

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf60a7fcb8.png)

### 漫反射

发生在粗糙表面，比如墙面。

特点：漫反射光均匀地向各个方向反射

环境光 + 漫反射，颜色 (亮度) 有过渡，但无光泽。

#### Lambert 余弦定律

与入射光的亮度、入射方向、材质有关。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf6b55c8bd.png)

入射光线的垂直分量才对照明有作用。

#### 漫反射光强计算

设 L，N 为单位化向量。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf6fe42c67.png)

### 镜面反射

发生在有光泽的表面，如擦亮的金属等。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf73b318d2.png)

只有当人眼恰好位于反射方向，才能感知亮度；否则不能。

#### 高光

如果物体表面很光滑，且人眼在反射光线附近，那么反射光的大部分到达人眼，形成很亮的光斑。比如额头。

1. 物体表面越光滑，高光区越小，越亮。
2. 光斑的颜色由入射光颜色决定，不取决于物体的颜色。

#### 非理想镜面反射

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658bf78b55f25.png)

#### 高光指数 n

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c02099d237.png)

#### Phong 镜面反射模型

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c069ea2395.png)

环境光 + 漫反射 + 镜面反射

#### 计算反射方向 R

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c06c12c234.png)

### Blinn-Phong 模型

对物体表面每个点 P，都需要计算 (L,N) 和 (V,R)。为了减少计算量，1977 年，Blinn 改进 Phong 模型。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c06f8b4113.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0702ef4f6.png)

## 明暗处理

#### 平面绘制

1. 求多边形的法向 N
2. 任取一点 P，调用 Phong 模型计算 P 的亮度 I
3. 把 I 赋给多边形投影覆盖区域的所有像素

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c08a49645b.png)

1. 一个多边形内部所有点亮度相同
2. 相邻的多边形亮度有跳跃

缺点：马赫带效应

马赫带效应 (Mach band effect)，1868 年奥地利物理学家马赫发现。马赫带效应不是物理现象，而是心理现象。 当观察两块亮度不同的区域时，边界处的亮度对比会加强，使轮廓特别明显。

解决方法：

1. 用更多的多边形逼近曲面，使得亮度跳跃小于人眼的分辨力 —— 多边形增多，计算量增大
2. 光滑着色 —— 不增加多边形，让亮度光滑过渡。

### 双线性亮度插值（Gouraud Shader）

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0929ed86d.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c097708033.png)

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0982d9040.png)

### Phong 明暗处理

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0a081336c.png)

优点：

* vs Gourand——相邻多边形之间的亮度过渡更自然。
* 能较好地模拟高光。

缺点：

* 计算量比 Gouraud 要大。

### 增量算法

优点：

* vs 平面着色——生成的图形真实感较好。
* vs Phong——快速，只需计算顶点的亮度，其余点通过插值得到。

缺点：

* 马赫带效应依然存在。
* 能比较好地模拟漫反射表面，但不能正确模拟高光。

## 纹理

光照模型生成的图形，表面太光滑，颜色单一，显得不真实。

贴纹理：为物体表面添加纹理的技术。

### 纹理分类

根据表现形式

1. 颜色纹理——光滑表面

比如刨光的木材表面的木纹、墙壁表面的装饰图案。 通过改变物体表面的颜色或亮度实现。

2. 几何纹理——粗糙表面

比如橘子皮表面的褶皱。 通过改变物体表面的微观几何结构实现。

3. 过程纹理——不规则、动态

比如水波、烟雾。 表现不规则的动态变化的自然景物。

### 颜色纹理

1. 定义纹理图案：纹理坐标 (s,t)
2. 定义纹理映射：建立纹理坐标 (s,t) 和物体表面点 (x,y,z) 的对应关系，把 (s,t) 的颜色值赋给 (x,y,z)
3. 把物体投影到屏幕

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0aa9c19ca.png)

#### 定义纹理图案

1. 离散法——用数字化图像定义。
2. 连续法——用数学函数表示。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0b293c873.png)

#### 建立映射

建立纹理坐标 (s,t) 和屏幕像素 (xs,ys) 的对应关系

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0b486d01f.png)

### 凹凸纹理

对物体表面作微小扰动，从而产生凹凸不平的效果。

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0b6d1816a.png)

#### 凹凸纹理实现

1. 对物体表面的每一个点 P(u,v)，沿该点的法向作位移 F(u,v)（对法向量作扰动），新表面位置：

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0bad49af7.png)

2. 计算新表面的法向量

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0bce538bb.png)

3. 计算亮度

![](https://picture.lanlance.cn/i/2023/12/27/658c0be452306.png)